Question

【题目】已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）ex ．
（1）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；
（2）设f（x）在[﹣1，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令f'（x）=0即[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]ex=0∴x2﹣2（a﹣1）x﹣2a=0

∵△=[2（a﹣1）]2+8a=4（a2+1）＞0∴x1=a﹣1﹣ ，x2=a﹣1+

又∵当x∈（﹣∞，a﹣1﹣ ）时，f'（x）＞0；

当x∈（a﹣1﹣ ，a﹣1+ ）时，f'（x）＜0；

当x∈（a﹣1+ ，+∞）时，f'（x）＞0．

列表如下：

x	（﹣∞，a﹣1﹣ ）	a﹣1﹣	（a﹣1﹣ ，a﹣1+ ）	a﹣1+	（a﹣1+ ，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴x1，x2分别为f（x）的极大值与极小值点．

又∵ f（x）=0；当x→+∞时，f（x）→+∞．

而f（a﹣1+ ）=2（1﹣ ） ＜0．

∴当x=a﹣1+ 时，f（x）取得最小值．

（2）解：f（x）在[﹣1，1]上单调，则f'（x）≥0（或≤0）在[﹣1，1]上恒成立．

而f'（x）=[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]ex，令g（x）=x2﹣2（a﹣1）x﹣2a=[x（a﹣1）]2﹣（a2+1）．

∴f'（x）≥0（或≤0）即g（x）≥0（或≤0）．

当g（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立时，有

①当﹣1≤a﹣1≤1即0≤a≤2时，g（x）min=g（a﹣1）=﹣（a2+1）≥0（舍）；

②当a﹣1＞1即a≥2时，g（x）min=g（1）=3﹣4a≥0∴a≤ （舍）．

当g（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立时，有

①当﹣1≤a﹣1≤0即0≤a≤1时，g（x）max=g（1）=3﹣4a≤0，∴ ≤a≤1；

②当0＜a﹣1≤1即1＜a≤2时，g（x）max=g（﹣1）=﹣1≤0，∴1＜a≤2；

③当1＜a﹣1即a＞2时，g（x）max=g（﹣1）=﹣1≤0，∴a＞2．

故a∈[ ，+∞）．

【解析】（1）直接求两个函数乘积的导函数，令其等于0，求出极值点，判断单调性，进而求出最小值；（2）f（x）在[﹣1，1]上是单调函数，即其导函数恒大于等于或小于等于零，转化为不等式恒成立问题，再通过构造函数转化为求函数最值，利用导数的方法即可解决．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．