Question

已知：四边形ABCD中，∠DAB=120°，对角线AC平分∠DAB
（1）当∠B=∠D=90°时．求证：AB+AD=AC；
（2）当∠B+∠D=180°时，线段AB，AD，AC有怎样的数量关系？并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AC平分∠DAB，∠DAB=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，又由∠B=∠D=90°，即可得∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得AB+AD=AC；
（2）首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F，由AC平分∠DAB，可得CE=CF，又由∠B与∠D互补，可证得△CED≌△CFB，则可得AD+AB=AE+AF，又由AE+AF=AC，则可得线段AB、AD、AC的数量关系为AB+AD=AC．

解答：证明：（1）如图1，在四边形ABCD中，∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°．
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°．
∴AB=AD=

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AC，即AB+AD=AC．

（2）AB+AD=AC．
证明如下：如图2，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF．
∵∠B+∠CDA=180°，∠CDA+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠B．
在△CED与△CFB中，

∠CDE=∠B ∠CED=∠CFB CE=CF

∴△CED≌△CFB（AAS）．
∴ED=BF．
∴AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+ED=AE+AF．
∵AC为角平分线，∠DAB=120°，
∴∠ECA=∠FCA=30°，
∴AE=AF=

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AC，
∴AE+AF=AC，
∴AB+AD=AE+AF=AC．
∴AB+AD=AC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的性质，直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．