Question

17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（-2，0），C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上一动点（点Q不与A、B重合），过点Q作QE∥AC交线段BC于E，连结CQ．设点Q的坐标为（m，0），△CQE的面积为S，试求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；（写出三个即可）若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与x轴的两交点A和B的坐标，设出抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），将C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）可先设Q的坐标为（m，0）；通过求△CEQ的面积与m之间的函数关系式，来得出△CQE的面积最大时点Q的坐标．S_△CEQ=S_△CBQ-S_△BQE．可用m表示出BQ的长，然后通过相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ边上的高，进而可根据△CEQ的面积计算方法得出△CEQ的面积与m的函数关系式，可根据函数的性质求出△CEQ的面积最大时，m的取值，也就求出了Q的坐标；
（3）本题要分三种情况进行求解：①当OD=OF时，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是个等腰直角三角形，于是可得出F的坐标应该是（2，2），由于P，F两点的纵坐标相同，因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标；②当OF=DF时，如果过F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，然后根据①的方法求出P的坐标；③当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2$\sqrt{2}$，因此此种情况是不成立的，综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．

解答 解：（1）由A（4，0），B（-2，0），设抛物线解析式为y=a（x-4）（x+2），
将C（0，4）代入抛物线解析式得：4=a（0-4）（0+2），
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-4）（x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；

（2）设点Q的坐标为（m，0），如图1，过点E作EG⊥x轴于点G，
∵A（4，0），B（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴$\frac{EG}{CO}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{EG}{4}$=$\frac{m+2}{6}$，
∴EG=$\frac{2m+4}{3}$，
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=$\frac{1}{2}$BQ•CO-$\frac{1}{2}$BQ•EG
=$\frac{1}{2}$（m+2）（4-$\frac{2m+4}{3}$）
=-$\frac{1}{3}$m²+$\frac{2}{3}$m+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；

（3）存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形，理由为：
在△ODF中，分三种情况考虑：
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此时，点F的坐标为（2，2），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=2，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
此时，点P的坐标为：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）；
②若FO=FD，如图2，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得：OM=$\frac{1}{2}$OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（1，3），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=3，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
此时，点P的坐标为：P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
∴点O到AC的距离为2$\sqrt{2}$，而OF=OD=2＜2$\sqrt{2}$，与OF≥2$\sqrt{2}$矛盾，
所以AC上不存在点使得OF=OD=2，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）或P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：点在抛物线上，则点的横纵坐标满足其二次函数解析式；通过几何关系列出二次函数关系式，并配成抛物线的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h，y有最大值k．也考查了三角形相似的判定与性质．要注意的是（3）中不确定等腰三角形的腰是哪些线段时，要分类进行讨论．