已知矩形ABCD的一条边AD=8cm.将矩形ABCD折叠.使得顶点B落在CD边上的P点处.已知折痕与边BC交于点O.连结AP.OP.OA．(1)如图1.若点P恰好是CD边的中点.①判断△ADP与△APO是否相似.并说明理由,②求边AB的长,(2)如图2.若△OCP与△PDA的面积比为1:4.动点G从点D出发以每秒1cm的速度沿DP向终点P运动.同时动点H从点P出发以每秒2cm� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．已知矩形ABCD的一条边AD=8cm，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
（1）如图1，若点P恰好是CD边的中点，
①判断△ADP与△APO是否相似，并说明理由；
②求边AB的长；
（2）如图2，若△OCP与△PDA的面积比为1：4，动点G从点D出发以每秒1cm的速度沿DP向终点P运动，同时动点H从点P出发以每秒2cm的速度沿PA向终点A运动，运动的时间为t（0＜t＜5），
①求边AB的长；
②问是否存在某一时刻t，使四边形ADGH的面积S有最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

分析（1）①利用折叠的特性及勾股定理可得DP的值，由△ADP∽△PCO，AC，OB，AB的值，进而得出∠OAB=30°，易证△ADP∽△APO；
②由①可知AB的值；
（2）①由△ADP∽△PCO，△OCP与△PDA的面积比为1：4，可得DP=2CO，AD=2PC，在RT△ADP中，利用AP²=AD²+DP²，可得AB=10．
②由GP=6-t，PH=2t，设△GPH的高为h，则可得h的值．得瞬息S_{四边形ADGH}=S_△ADP-S_△GHP即可得出当t=3时，四边形ADGH的面积S有最小值．

解答解：（1）①∵点P恰好是CD边的中点，
设DP=PC=y，
则DC=AB=AP=2y，
在Rt△ADP中，AD²+DP²=AP²，
即：8²+y²=（2y）²，
解得：y=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵∠OPA=∠B=90°，
∴△ADP∽△PCO，
∴AD：PC=DP：CO，
∴8：y=y：CO，
则AC=$\frac{{y}^{2}}{8}$=$\frac{8}{3}$，
∴OB=8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∵AB=2y=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{AB}$$\frac{\frac{16}{3}}{\frac{16\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAB=30°；
∴∠OAP=∠DAP=30°，
∵∠OPA=∠D=90°，
∴△ADP∽△APO；
②由①可知AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
（2）∵△ADP∽△PCO，△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴$\frac{DP}{CO}$=$\frac{2}{1}$，即DP=2CO，$\frac{AD}{PC}$=$\frac{2}{1}$．AD=2PC，
∵AD=8，
∴PC=4，
在RT△ADP中，AP²=AD²+DP²，
∵AP=DC=AB，
∴AB²=64+（AB-4）²，解得AB=10．
②∵GP=6-t，PH=2t，设△GPH的高为h，则有h=$\frac{AD}{AP}$•2t=$\frac{8}{5}t$．
∴S_{四边形ADGH}=S_△ADP-S_△GHP=$\frac{1}{2}$DP•DA-$\frac{1}{2}$GP•h=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{8}{5}$t=$\frac{4}{5}$（t-3）²+$\frac{84}{5}$，
∴当t=3时，四边形ADGH的面积S有最小值为$\frac{84}{5}$．

点评本题主要考查了相似形的综合题，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，找出全等和相似的三角形．

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