Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD与⊙O相切．

理由：连接OD，

∵∠AED=45°，

∴∠AOD=2∠AED=90°，

即OD⊥AB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴OD⊥CD，

∵AB为直径的圆O经过点D，

∴CD与⊙O相切；

（2）解：过点O作OF⊥AE，连接OE，

则AF= AE= ×10=5（cm），

∵OA=OE，

∴∠AOF= ∠AOE，

∵∠ADE= ∠AOE，

∴∠ADE=∠AOF，

在Rt△AOF中，sin∠AOF= = ，

∴sin∠ADE= ．

【解析】（1）首先连接OD，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可证得OD⊥AB，又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD⊥CD，即可证得CD与⊙O相切；（2）首先过点O作OF⊥AE，连接OE，由垂径定理可得AF=5cm，∠AOF= ∠AOE，又由圆周角定理可得∠ADE= ∠AOE，继而证得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．