Question

【题目】综合与实践﹣猜想、证明与拓广

问题情境：

数学课上同学们探究正方形边上的动点引发的有关问题，如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上的一点，点D关于直线AE的对称点为点F，直线DF交AB于点H，直线FB与直线AE交于点G，连接DG，CG．

猜想证明

（1）当图1中的点E与点B重合时得到图2，此时点G也与点B重合，点H与点A重合．同学们发现线段GF与GD有确定的数量关系和位置关系，其结论为：　 　；

（2）希望小组的同学发现，图1中的点E在边BC上运动时，（1）中结论始终成立，为证明这两个结论，同学们展开了讨论：

小敏：根据轴对称的性质，很容易得到“GF与GD的数量关系”…

小丽：连接AF，图中出现新的等腰三角形，如△AFB，…

小凯：不妨设图中不断变化的角∠BAF的度数为n，并设法用n表示图中的一些角，可证明结论．

请你参考同学们的思路，完成证明；

（3）创新小组的同学在图1中，发现线段CG∥DF，请你说明理由；

联系拓广：

（4）如图3若将题中的“正方形ABCD”变为“菱形ABCD“，∠ABC=α，其余条件不变，请探究∠DFG的度数，并直接写出结果（用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】(1) GF=GD，GF⊥GD;(2)见解析;(3)见解析;(4) 90°﹣.

【解析】

（1）根据四边形ABCD是正方形可得∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，点D关于直线AE的对称点为点F，即可证明出∠DBF=90°，故GF⊥GD，再根据∠F=∠ADB，即可证明GF=GD；

（2）连接AF，证明∠AFG=∠ADG，再根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠BAD=90°，设∠BAF=n，∠FAD=90°+n，可得出∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣（90°+n）﹣（180°﹣n）=90°，故GF⊥GD；

（3）连接BD，由（2）知，FG=DG，FG⊥DG，再分别求出∠GFD与∠DBC的角度，再根据三角函数的性质可证明出△BDF∽△CDG，故∠DGC=∠FDG，则CG∥DF；

（4）连接AF，BD，根据题意可证得∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，再根据菱形的性质可得∠ADB=∠ABD=α，故∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+α）+α+（180°﹣2∠1）=360°，2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，即可求出∠DFG．

解：（1）GF=GD，GF⊥GD，

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°，

∵点D关于直线AE的对称点为点F，∠BAD=∠BAF=90°，

∴∠F=∠ADB=45°，∠ABF=∠ABD=45°，

∴∠DBF=90°，

∴GF⊥GD，

∵∠BAD=∠BAF=90°，

∴点F，A，D在同一条线上，

∵∠F=∠ADB，

∴GF=GD，

故答案为：GF=GD，GF⊥GD；

（2）连接AF，∵点D关于直线AE的对称点为点F，

∴直线AE是线段DF的垂直平分线，

∴AF=AD，GF=GD，

∴∠1=∠2，∠3=∠FDG，

∴∠1+∠3=∠2+∠FDG，

∴∠AFG=∠ADG，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

设∠BAF=n，

∴∠FAD=90°+n，

∵AF=AD=AB，

∴∠FAD=∠ABF，

∴∠AFB+∠ABF=180°﹣n，

∴∠AFB+∠ADG=180°﹣n，

∴∠FGD=360°﹣∠FAD﹣∠AFG﹣∠ADG=360°﹣（90°+n）﹣（180°﹣n）=90°，

∴GF⊥DG，

(3)如图2，连接BD，由（2）知，FG=DG，FG⊥DG，

∴∠GFD=∠GDF=（180°﹣∠FGD）=45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°，

∴∠BDC=∠DBC=（180°﹣∠BCD）=45°，

∴∠FDG=∠BDC，

∴∠FDG﹣∠BDG=∠BDC﹣∠BDG，

∴∠FDB=∠GDC，

在Rt△BDC中，sin∠DFG==sin45°=，

在Rt△BDC中，sin∠DBC==sin45°=，

∴，

∴，

∴△BDF∽△CDG，

∵∠FDB=∠GDC，

∴∠DGC=∠DFG=45°，

∴∠DGC=∠FDG，

∴CG∥DF；

（4）90°﹣，理由：如图3，连接AF，BD，

∵点D与点F关于AE对称，

∴AE是线段DF的垂直平分线，

∴AD=AF，∠1=∠2，∠AMD=90°，∠DAM=∠FAM，

∴∠DAM=90°﹣∠2=90°﹣∠1，

∴∠DAF=2∠DAM=180°﹣2∠1，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∴∠AFB=∠ABF=∠DFG+∠1，

∵BD是菱形的对角线，

∴∠ADB=∠ABD=α，

在四边形ADBF中，∠AFB+∠DBF+∠ADB+∠DAF=（∠DFG+∠1）+（∠DFG+∠1+α）+α+（180°﹣2∠1）=360°

∴2∠DFG+2∠1+α﹣2∠1=180°，

∴∠DFG=90°﹣．