在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;
(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.
(1)
(2)
①y= (<x≤5)
②当时,y的最大值为
(3)x=
解析:解:(1)∵AC=3,BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD,
∴CD=,AD=
(2)①当0<x≤时
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
当<x≤5时,易得△BEF∽△BDC,同理可求EF=(5—x)
∴y=·x·(5—x)=≤
②当0<x≤时,y随x的增大而增大.
y=≤,即当x=时,y最大值为
当<x≤5时,
∵
∴当时,y的最大值为
∵<
∴当时,y的最大值为
(3)假设存在
当0<x≤5时,AF=6—x
∴0<6—x<3
∴3<x<6
∴3<x≤5
作FG⊥AB与点G
由△AFG∽△ACD可得
∴,即FG=
∴x·=
∴=3,即2x2-12x+5=0
解之得x1=,x2=
∵3<x1≤5
∴x1=符合题意
∵x2=<3
∴x2不合题意,应舍去
∴存在这样的直线EF,此时,x=
科目:初中数学 来源:2012年初中毕业升学考试(广西桂林卷)数学(带解析) 题型:解答题
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.
(1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD;
(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B
时停止;设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.
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科目:初中数学 来源:2013届辽宁省大石桥市水源二中九年级上学期阶段检测数学试卷(带解析) 题型:解答题
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D是BC上一动点(不与B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置,连接DE、CE,设∠BCE=β.
(1)如图1,若α=90°,求β的大小;
(2)如图2,当点D在线段BC上运动时,试探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时(画出图形),(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请直接写出α与β之间的数量关系.
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科目:初中数学 来源:人教版初三年级数学相似形提高测试 题型:填空题
如图,在△ABC中,AB=AC=27,D在AC上,且BD=BC=18,DE∥BC交AB于E,则DE=_______.
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科目:初中数学 来源:2013届江苏省镇江市初一四月月考数学卷 题型:解答题
如图,在ΔABC中,AB=AC=10,BC=8.用尺规作图作BC边上的中线AD(保留作图痕迹,不要求写作法、证明),并求AD的长.
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