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在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.

(1)求线段AD的长;

(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,

①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)

②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;

(3)若F在直角边AC上(点F与A、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.

 

 

(1)

(2)

①y=<x≤5)

②当时,y的最大值为

(3)x=

解析:解:(1)∵AC=3,BC=4

∴AB=5

AC·BC=AB·CD,

∴CD=,AD=

(2)①当0<x≤

∵EF∥CD

∴△AEF∽△ADC

即EF=x

∴y=·x·x=

<x≤5时,易得△BEF∽△BDC,同理可求EF=(5—x)

∴y=·x·(5—x)=

②当0<x≤时,y随x的增大而增大.

y=,即当x=时,y最大值为

  当<x≤5时,

        ∵

       ∴当时,y的最大值为

      ∵

      ∴当时,y的最大值为

(3)假设存在

    当0<x≤5时,AF=6—x

    ∴0<6—x<3

    ∴3<x<6

     ∴3<x≤5

    作FG⊥AB与点G

    由△AFG∽△ACD可得

    ∴,即FG=

    ∴=

    ∴=3,即2x2-12x+5=0

    解之得x1=,x2=

    ∵3<x1≤5

    ∴x1=符合题意

    ∵x2=<3

    ∴x2不合题意,应舍去

    ∴存在这样的直线EF,此时,x=

 

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