Question

如图，已知直线y₁=kx+n与抛物线y₂=-x²+bx+c都经过A（4，0）和B（0，2）．
（1）求直线和抛物线解析式；      
（2）当y₁＞y₂时，求x的取值范围；        
（3）若直线上方的抛物线有一点C，且S_△ABC=6，求C的坐标．

Answer 1

考点：二次函数与不等式（组）,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）将已知两点坐标代入直线与抛物线解析式求出各字母的值，即可确定出各自的解析式；
（2）观察图象，直线y₁落在抛物线y₂上方的部分对应的x的取值即为所求x的取值范围；
（3）设C的坐标为（x，-x²+3.5x+2），根据S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC-S_△AOB=6列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）将（4，0）与（0，2）分别代入直线解析式得：

4k+n=0 n=2

，
解得：

k=- 1 2 n=2

，
即直线解析式为y₁=-

1

2

x+2；
将（4，0）与（0，2）分别代入抛物线解析式得：

-16+4b+c=0 c=2

，
解得：

b=3.5 c=2

，
即抛物线解析式为y₂=-x²+3.5x+2；

（2）根据两函数交点坐标为（0，2），（4，0），
由图象得：当y₁＞y₂时，x的取值范围为x＜0或x＞4；

（3）设C的坐标为（x，-x²+3.5x+2），则0＜x＜4．
∵S_△ABC=6，
∴S_△AOC+S_△BOC-S_△AOB=6，
∴

1

2

×4×（-x²+3.5x+2）+

1

2

×2x-

1

2

×4×2=6，
整理得x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
当x₁=1时，-x²+3.5x+2=-1+3.5+2=4.5；
当x₂=3时，-x²+3.5x+2=-9+10.5+2=3.5；
∴C的坐标为（1，4.5）或（3，3.5）．

点评：此题考查了二次函数与不等式，利用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．