Question

19．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．求证：EF=BE+FD．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．

解答 证明：（1）如图1，延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF=90°}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD

（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图2，延长CB至M，使BM=DF，
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠1=∠D}\\{BM=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠2+∠4=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME与△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AF}\\{∠MAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．

（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADF}\\{BG=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE-BG
∴EF=BE-FD．

点评 本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．