Question

1．在平面上画互相垂直的两组平行线，相邻平行线的距离都等于1，这两组平行线的交点称为“格点”，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”，如图1．关于格点三角形的面积S，有一个著名的Pick定理：$S=I+\frac{1}{2}B-1$，其中I，B分别表示三角形内部与周界上的格点数．
（1）阅读
我们把互相垂直的其中两对平行线围成的矩形称为“格点矩形”，如图2，可验证Pick定理对格点矩形成立．设矩形ABCD的边AB，AD上分别有m，n个格点（不包括端点），并记矩形内部和周界上的格点数分别为I₀，B₀，则I₀=mn，B₀=2（m+n）+4，AB=m+1，AD=n+1.$\begin{array}{l}{I_0}+\frac{1}{2}{B_0}-1=mn+\frac{1}{2}[{2（{m+n}）+4}]-1=mn+m+n+1=（{m+1}）（{n+1}）\\={S_{ABCD}}.\end{array}$

完成下列两题的证明
（2）任何一个格点三角形都可以内接在一个格点矩形中，使三角形至少有一个顶点恰好是矩形的顶点．
图3是最简单的情形．设边AC上的格点数为k（不包括端点），请用I₀，B₀和k分别表示△ABC内部和周界上的格点数，并利用（1）的结论证明：对于△ABC，Pick定理成立．
（3）请利用（2）的结论证明：对于图4所示的△ABC，Pick定理也成立．

Answer 1

分析 （2）先表示出l，再根据Pick定理进行计算即可；
（3）同（2）的方法进行证明即可．

解答 解：（2）如图3
设I，B分别表示△ABC内部与周界上的格点数，
那么，$I=\frac{1}{2}（{{I_0}-k}），B=\frac{1}{2}（{{B_0}-4}）+k+3=\frac{1}{2}{B_0}+k+1$．
$I+\frac{1}{2}B-1=\frac{1}{2}（{{I_0}-k}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}{B_0}+k+1}）-1=\frac{1}{2}（{{I_0}+\frac{1}{2}{B_0}-1}）$．
${I_0}+\frac{1}{2}{B_0}-1={S_{ABCD}}$．
∴$I+\frac{1}{2}B-1=\frac{1}{2}{S_{ABCD}}={S_{△ABC}}$．
（3）如图4，

仍记I，B分别表示△ABC内部与周界上的格点数，
并设△ACE的内部和周界上的格点数分别为I₁，B₁，
△ABE的内部和周界上的格点数分别为I₂，B₂，AB上的格点数为k，
则I=I₁-I₂-k，B=B₁-B₂+2k+2，
$\begin{array}{l}I+\frac{1}{2}B-1={I_1}-{I_2}-k+\frac{1}{2}（{{B_1}-{B_2}+2k+2}）-1\\=（{{I_1}+\frac{1}{2}{B_1}-1}）-（{{I_2}+\frac{1}{2}{B_2}-1}）\\={S_{△ACE}}-{S_{△ABE}}={S_{△ABC}}.\end{array}$

点评 此题是四边形综合题，主要考查了格点三角形，Pick定理的理解应用，解本题的关键是理解Pick定理，也是本题的难点．