Question

1．如图，已知抛物线y=x²+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C为AB中点，求PC的长；
（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=$\frac{1}{2}$AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；
（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．

解答 解：
（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，
∴A点在直线上，
∴8=2a+4，解得a=2，
∴A点坐标为（2，8），
又A点在抛物线上，
∴8=2²+2b，解得b=2，
∴抛物线解析式为y=x²+2x；
（2）联立抛物线和直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴B点坐标为（-2，0），
如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，
当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，
∴OC=$\frac{1}{2}$AQ=4，
∴C点坐标为（0，4），
又PC∥x轴，
∴P点纵坐标为4，
∵P点在抛物线上，
∴4=x²+2x，解得x=-1-$\sqrt{5}$或x=$\sqrt{5}$-1，
∵P点在A、B之间的抛物线上，
∴x=-1-$\sqrt{5}$不合题意，舍去，
∴P点坐标为（$\sqrt{5}$-1，4），
∴PC=$\sqrt{5}$-1-0=$\sqrt{5}$-1；
（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，
∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，
∵C、E都在直线y=2x+4上，
∴C（m，2m+4），E（$\frac{n-4}{2}$，n），
∵PC∥x轴，
∴P点纵坐标为2m+4，
∵P点在抛物线上，
∴2m+4=x²+2x，整理可得2m+5=（x+1）²，解得x=$\sqrt{2m+5}$-1或x=-$\sqrt{2m+5}$-1（舍去），
∴P点坐标为（$\sqrt{2m+5}$-1，2m+4），
∴DE=$\frac{n-4}{2}$-m，CP=$\sqrt{2m+5}$-1-m，
∵四边形PCDE为矩形，
∴DE=CP，即$\frac{n-4}{2}$-m=$\sqrt{2m+5}$-1-m，
整理可得n²-4n-8m-16=0，
即m、n之间的关系式为n²-4n-8m-16=0．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有图象的交点、待定系数法、三角形中位线定理、矩形的性质等．在（1）中注意交点坐标的应用，在（2）中求出C点坐标是解题的关键，在（3）中用m、n表示出P点的坐标是解题的关键．本题知识点较多，计算量较大，难度适中．