Question

4．在?ABOC中，AO⊥BO，且AO=BO．以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知B（-6，0），直线y=3x+b过点C且与x轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点E为y轴正半轴上一点，当∠BED=45°时，求直线EC的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F，ED与AC交于点G．点P从点O出发以每秒1个单位的速度沿折线OF-FE运动，在运动过程中直线PA交BE于H，设运动时间为t．当以E、H、A为顶点的三角形与△EGC相似时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质求出点C的坐标，把C的坐标代入y=3x+b，可求出直线CD的解析式，从而求出D的坐标；
（2）作AM⊥OC于M，连接DM并延长交y轴于E，先求得M为等腰直角三角形OAC的中点，得到M的坐标，根据待定系数法求得直线DM的解析式，求得与y轴的交点坐标，然后证得△BAE∽△EAM，得出∠ABE=∠AEM，进而求得∠BED=45°，所以直线与y轴的交点即为E点，再根据待定系数法求出直线EC的解析式；
（3）分两种情况：①P在OF上运动，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA与△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可，当∠HAE=45°时，由∠OAP=∠HAE=45°，得到△AOP为等腰直角三角形，从而求出t的值；
②P在EF上运动，容易求出∠HEA=∠GEC，要使△EHA与△EGC相似，只要∠AHE=∠GCE=45°即可，当∠AHE=45°时，由∠HEI=45°，得到∠HIE=90°，故AP⊥ED，求出直线AP的解析式，再求出直线AP与EF得交点P的坐标，用两点间的距离公式算出EP的长，从而得出PF的长，分别算出P在OF上运动的时间与P在FE上运动的时间，两者相加，得到t的值．

解答 解：（1）∵B（-6，0），
∴OB=6，
∵AO=BO，
∴AO=6，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=BO=6，
∴C（6，6），
∵直线y=3x+b过点C，
∴6=3×6+b
∴b=-12，
∴直线CD的解析式为：y=3x-12，在y=3x-12中，令y=0，
解得：x=4，
∴D（4，0）；

（2）作AM⊥OC于M，连接DM并延长交y轴于E．
∵AO=AC=6，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴OM=CM，∠CAM=45°，
∴∠EAM=135°
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∴∠BAE=135°，
∴∠EAB=∠MAE，
∵C（6，6），
∴M（3，3），
设直线MD为y=kx+b，
∵D（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=12}\end{array}\right.$．
∴直线ED的解析式为：y=-3x+12，
∴E（0，12），
∴OE=12，
∵OA=6，
∴AE=6，
∵AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{6\sqrt{2}}{6}$=$\sqrt{2}$，$\frac{AE}{AM}$=$\frac{6}{3\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△BAE∽△EAM，
∴∠ABE=∠AEM，
∵∠ABE+∠AEB=∠BAO=45°，
∴∠AEB+∠AEM=45°，
∴∠BED=45°
∴当∠BED=45°时，E（0，12）
设直线EC的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=12}\\{6m+n=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=12}\end{array}\right.$，
∴直线EC的解析式为：y=-x+12；

（3）分两种情况：①当P在OF上运动时，
∵直线EC的解析式为：y=-x+12，令y=0，得：x=12，
∴OF=OE=12，∴∠OFE=45°，
∵AC∥OB，
∴∠ACE=∠OFE=45°，
∴∠CEG+∠AEG=45°，
∵∠BED=45°，
∴∠HEA=∠GEC，
要使△EHA与△EGC相似，只要∠HAE=∠GCE=45°即可．当∠HAE=45°时，∠OAP=∠HAE=45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OP=OA=6，
即t=6÷1=6；
②当P在EF上运动时，由①可知，△EHA与△EGC中，∠HEA=∠GEC，∠GCE=45°，
∴只需要∠EHA=45°即可．当∠EHA=45°时，
∵∠HEI=45°，
∴∠HIE=90°，
∵AP⊥ED，
∴直线AP的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+n，
把A（0，6）代入，得：n=6，
∴直线AP的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x+6，
联立方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+6}\\{y=-x+12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4.5}\\{y=7.5}\end{array}\right.$，
∴P（4，5，7.5），
∴EP=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∵EF=$\sqrt{2}$OE=12$\sqrt{2}$，
∴FP=12$\sqrt{2}$-$\frac{9\sqrt{2}}{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
∴点P从O到P所用的时间t=（12+$\frac{15\sqrt{2}}{2}$）÷1=$\frac{24+15\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了相似形综合题，用到的知识点有相似三角形的判断和性质、平行四边形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形的判断和性质，题目的综合性较强难度较大，解题的关键是利用分类讨论的数学思想．