Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，以斜边AB所在直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系，若OA²+OB²=17，且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的两个根．
（1）求C点的坐标；
（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的两个根．根据韦达定理就可以得到关于OA，OB的两个式子，再已知OA²+OB²=17，就可以得到一个关于m的方程，从而求出m的值．求出OA，OB．根据OC²=OA•OB就可以求出C点的坐标；
（2）由第一问很容易求出A，B的坐标．连接AB的中点，设是M，与E，在直角△OME中，根据勾股定理就可以求出OE的长，得到E点的坐标，利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（3）E点就是满足条件的点．同时C，E关于抛物线的对称轴的对称点也是满足条件的点．

解答：解：（1）∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+2（m-3）=0的两个根，
∴

OA+OB=m，(1) OA•OB=2(m-3)．(2)

又∵OA²+OB²=17，
∴（OA+OB）²-2•OA•OB=17，（3）
∴把（1）（2）代入（3），得m²-4（m-3）=17，
∴m²-4m-5=0，
解之，得m=-1或m=5，
又知OA+OB=m＞0，
∴m=-1应舍去，
∴当m=5时，得方程x²-5x+4=0，
解之，得x=1或x=4，
∵BC＞AC，
∴OB＞OA，
∴OA=1，OB=4，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵OA=1，OB=4，C、E两点关于x轴对称，
∴A（-1，0），B（4，0），E（0，-2），
设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

解之，得

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴所求抛物线解析式为y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（3）存在，
∵点E是抛物线与圆的交点，
∴Rt△ACB≌RT△AEB，
∴E（0，-2）符合条件，
∵圆心的坐标（

3

2

，0）在抛物线的对称轴上，
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称，
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意，
∴可求得E′（3，-2），
∴抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）．

点评：本题是二次函数与圆以及全等三角形相结合的题目，难度较大，利用数形结合有利于对题目的理解．