Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，中位线EF分别交BD，AC于点G，H，∠ACB=30°，则下列结论中正确的有

 

．（填序号）
（1）EG+HF=AD；（2）AO•OB=CO•OD；（3）BC-AD=2GH；（4）△ABH是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）因为EF是梯形ABCD的中位线，根据平行线分线段成比例定理，可知EG是△ABD的中位线，HF是△ACD的中位线，再利用中位线定理，可求出EG+FH=AD．
（2）根据平行线分线段成比例定理的推论，可证△AOD∽△COB，即可得比例线段．
（3）利用梯形中位线定理，再解合（1）的结论，可证．
（4）因为△ABC是直角三角形，F是斜边上的中点，且∠ACB=30°，可证AH=BH=AB，那么△ABH是等边三角形．

解答：解：（1）∵中位线EF分别交BD，AC于点G，H
∴EG、HF分别是△ABD、△ACD的中位线，
∴EG=

1

2

AD，HF=

1

2

AD
∴EG+HF=AD
（2）∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴

AO

CO

=

OD

OB

，即AO•OB=CO•OD
（3）∵中位线EF分别交BD，AC于点G，H
∴FG、HF分别是△CBD、△ACD的中位线
∴FG=

1

2

BC，HF=

1

2

AD
∴GH=FG-HF=

1

2

（BC-AD）
∴BC-AD=2GH
（4）∵EH∥BC，AE=EB
∴AH=HC
∴在Rt△ABC中，BH=AH
又∵∠ACB=30°
∴∠BAC=60°
∴△ABH是等边三角形．
故全部正确．

点评：此题综合性较强，考查了三角形的中位线定理、相似三角形的有关内容、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识．