实践探究.解决问题如图1.△ABC中.AD为BC边上的中线.则S△ABD=S△ACD．(1)在图2中.E.F分别为矩形ABCD的边AD.BC的中点.且AB=4.AD=8.则S阴影=16,(2)在图3中.E.F分别为平行四边形ABCD的边AD.BC的中点.则S阴影和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为S阴影=$\frac{1}{2}$S平行四边形ABCD之,(3)在图4中.E.F分别为任意四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．实践探究，解决问题
如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S_△ABD=S_△ACD．
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，则S_阴影=16；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴影和S_{平行四边形ABCD}之间满足的关系式为S_阴影=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}之；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴影和S_{四边形ABCD}之间还满足（2）中的关系式吗？若满足，请予以证明，若不满足，说明理由．
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和（即S₁+S₂+S₃+S₄的值）．

分析（1）由矩形的性质容易得出结果；
（2）由平行四边形的性质容易得出结果；
（3）连接BD，由题意得出S_△EBD=$\frac{1}{2}$ S_△ABD 同理S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△BDC，即可得出结论；
（4）设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，由（3）可以得出：a+S₂+S₃=$\frac{1}{2}$S_△ACD①，c+S₁+S₄=$\frac{1}{2}$S_△ACB②，b+S₂+S₁=$\frac{1}{2}$S_△ABD③，d+S₄+S₃=$\frac{1}{2}$S_△ACD④，进一步得出结论即可．

解答解：（1）∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB=4，AD=8，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
故答案为：16；
（2）∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}；
故答案为：S_阴影=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}；
（3）满足（2）中的关系式，理由如下：
连接BD，由图1得S_△EBD=$\frac{1}{2}$ S_△ABD 同理S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△BDC
∴S_{四边形EBFD}=S_△EBD+S_△BDF=$\frac{1}{2}$ S_{四边形ABCD}；
（4）解：设四边形的空白区域分别为a，b，c，d
由上述性质可以得出：
a+S₂+S₃=$\frac{1}{2}$S_△ACD①，c+S₁+S₄=$\frac{1}{2}$S_△ACB②，b+S₂+S₁=$\frac{1}{2}$S_△ABD③，d+S₄+S₃=$\frac{1}{2}$S_△ACD④，
①+②+③+④得，a+S₂+S₃+c+S₁+S₄+b+S₂+S₁+d+S₄+S₃=S_{四边形ABCD}⑤
而S_{四边形ABCD}=a+b+c+d+S₁+S₂+S₃+S₄+S_阴影⑥

所以联立⑤⑥得S₁+S₂+S₃+S₄=S_阴影=20平方米．

点评本题是三角形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握三角形的中线性质和平行四边形的性质是解决问题的关键．

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