Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，P点在BC边上的高AD上，且

AP

PD

=

1

2

，BP的延长线交AC于E，若S_△ABC=10，则S_△ABE=

 

；S_△DEC=

 

．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,三角形的面积,等腰三角形的性质,三角形中位线定理

专题：综合题

分析：如果把△ABE与△ABC看作同高的两个三角形，那么它们的面积之比等于底之比，即等于AE：AC．所以为了求出△ABE的面积，由于已知S_△ABC=10，只需求出AE：AC即可．为此，取EC中点F，连接DF．先由等腰三角形三线合一的性质得出D为BC中点，又F为EC中点，根据三角形中位线定理证出DF∥BE，再由平行线分线段成比例定理求出AE：EF，进而得出AE：AC；根据S_△BEC=S_△ABC-S_△ABE，先求出S_△BEC，再根据三角形的中线将三角形的面积二等分，得出S_△DEC．

解答：解：取EC中点F，连接DF．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵F为EC中点，
∴DF∥BE，则DF∥PE，
∴

AE

EF

=

AP

PD

=

1

2

，
∴

AE

AC

=

1

5

．
∴

S△ABE

S△ABC

=

AE

AC

=

1

5

，
∴S_△ABE=

1

5

S_△ABC=

1

5

×10=2；
∵S_△BEC=S_△ABC-S_△ABE=10-2=8，
又∵D为BC中点，
∴S_△DEC=

1

2

S_△BEC=

1

2

×8=4．
故答案为2；4．

点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，中位线定理及三角形面积的计算，综合性较强，难度中等．