Question

等腰Rt△CBA绕直角顶点C逆时针旋转45°后得到等腰Rt△CDE，AB、BC与DE分别交于点M，H，AB与CD交于点K，连接AE分别交CD，CB于点F，G，连接FM，MG，若△CFG的面积为2

2

，则四边形CFMG的周长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,等腰直角三角形,菱形的判定与性质

专题：计算题

分析：先根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质得CA=CB=CD=CE，∠ACF=∠ECG=45°，则∠CAE=∠CEA，于是可根据“ASA”判断△ACF≌△ECG，则CF=CG，由于旋转45°，则CD⊥AB，∠D=∠CAB=45°，则可判断△DKM为等腰直角三角形，得到KM=KD，加上CK=AK，CD=CA，所以CA=AK+KM=AM，再计算∠ACF=∠MAF=22.5°，则可利用“SAS”判断△ACF≌△AMF，得到CF=MF，同理可得CG=GM，于是可得到四边形CFMG为菱形，再利用三角形面积公式得到

1

2

CF•CG•sin45°=2

2

，解得CF=2

2

，所以四边形CFMG的周长=4CF=8

2

．

解答：解：∵等腰Rt△CBA绕直角顶点C逆时针旋转45°后得到等腰Rt△CDE，
∴CA=CB=CD=CE，∠ACF=∠ECG=45°，
∴∠CAE=∠CEA，
在△ACF和△ECG中，

∠CAF=∠CEG AC=EC ∠ACF=∠ECG

，
∴△ACF≌△ECG（ASA），
∴CF=CG，
∵CD⊥AB，∠D=∠CAB=45°，
∴△DKM为等腰直角三角形，
∴KM=KD，
∵CK=AK，CD=CA，
∴CA=AK+KM=AM，
∵AC=EC，∠ACE=135°，
∴∠CAE=22.5°，
∴∠MAF=45°-22.5°=22.5°，
在△ACF和△AMF中，

AC=AM ∠CAF=∠MAF AF=AF

，
∴△ACF≌△AMF（SAS），
∴CF=MF，
同理可得CG=GM，
∴CF=FM=MG=GC，
∴四边形CFMG为菱形，
∵△CFG的面积为2

2

，
∴

1

2

CF•CG•sin45°=2

2

，
∴CF=2

2

，
∴四边形CFMG的周长=4CF=8

2

．
故答案为8

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和菱形的判定与性质．