Question

如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转90°，若旋转过程中OF与OA的夹角（图2中的∠FOA）的正切的值为x，两个矩形重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S_矩形ODEF=S_矩形ABCO=×4×4=；

（2）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4，
∴OF=，OD=1，
∴tan∠FOE=，
①当0≤x≤时，重叠部分是直角三角形，
y=OF•OFtan∠FOA=××x=x；
②当x＞时，重叠部分是四边形，
y=OD•OF-OD•OD=1×-×1×=-；

（3）存在．
∵OE===2，
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC===8，
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S_最大=×8（2+2）=8+8，
S_最小=×8（2-2）=8-8．
分析：（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；
（2）先求出矩形ODEF的边长为1、，再分①当0≤x≤时重叠部分是直角三角形和②当x＜是重叠部分是四边形，矩形ODEF剩余部分是直角三角形两种情况求解；
（3）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．
点评：本题综合性较强，主要利用了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，综合考虑各知识点之间关系是解本题的关键．