Question

如图，△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥BC，点O是AD的中点，过O点的直线MN分别交线段AB和AC于点M，N，若AM：MB=3：5，则AN：NC的值是______．

Answer 1

如图，∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°×2=120°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×120°=60°（等腰三角形三线合一），
过点O作OE∥AC交AB于E，作OF∥AB交AC于F，
则∠AOE=∠CAD=60°，∠AOF=∠BAD=60°，
∴△AOE和△AOF都是等边三角形，
∴AE=AE=AO，
∵AM：MB=3：5，
∴AM=3k，MB=5k，
∴AC=AB=3k+5k=8k，
∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×8k=4k，
∵点O是AD的中点，
∴AO=

1

2

AD=

1

2

×4k=2k，
∴ME=AM-AE=3k-2k=k，
∴

OE

AN

=

ME

AM

，
即

2k

AN

=

k

3k

，
解得AN=6k，
∴NC=AC-AN=8k-6k=2k，
∴AN：NC=6k：2k=3：1．
故答案为：3：1．