Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF平分∠BAC交BC于点E，交⊙O于点F，BD平分∠ABC交AF于点D，过点F作FH∥BC．
（1）求证：FH是⊙O的切线；
（2）求证：BF=DF；
（3）若EF=3，DE=4，求线段AD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题,平行线的性质,三角形的外角性质,等腰三角形的判定与性质,圆周角定理,切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）连接OB、OC、OF，设OF与BC交于点G，如图1，结合圆周角定理和角平分线的定义可得∠BOF=∠COF，根据等腰三角形的性质可得∠OGC=90°．然后根据平行线的性质可得∠OFH=90°，就可证到FH是⊙O的切线．
（2）结合圆周角定理和角平分线的定义可得∠BAF=∠CBF，然后根据外角性质可证到∠BDF=∠DBF，根据等角对等边可得FB=FD．
（3）由条件可算出DF即BF的长，由∠BAF=∠CBF可证到△BFE∽△AFB，从而得到FB²=FE•FA，就可求出线段AD的长．

解答：解：（1）连接OB、OC、OF，设OF与BC交于点G，如图1，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF．
∵∠BAF=

1

2

∠BOF，∠CAF=

1

2

∠COF，
∴∠BOF=∠COF．
∵OB=OC，
∴OG⊥BC，即∠OGC=90°．
∵FH∥BC，
∴∠OGC=∠OFH．
∴∠OFH=90°．
∵FH经过OF的外端，且OF⊥FH，
∴FH是⊙O的切线．

（2）如图2，
∵AF平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠BAF=∠CAF，∠ABD=∠CBD．
∵∠CAF=∠CBF，
∴∠BAF=∠CBF．
∴∠BDF=∠BAF+∠ABD=∠CBF+∠CBD=∠DBF．
∴FB=FD．

（3）如图2，
∵EF=3，DE=4，
∴FB=FD=FE+DE=3+4=7．
∵∠FBE=∠BAF，∠BFE=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB．
∴

BF

AF

=

EF

BF

．
∴FB²=FE•FA．
∴49=3FA．
∴FA=

49

3

．
∴AD=FA-FD=

49

3

-7=

28

3

．
∴线段AD的长为

28

3

．

点评：本题考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，而证到△BFE∽△AFB是解决第（3）小题的关键．