Question

10．如图，Rt△ADC在平面直角坐标系下如图放置，斜边AC交x轴于点E，过点A的双曲线y=$\frac{k}{x}$（m≠0）交Rt△ADC斜边AC的中点B，连接BD，过点C作双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）．若BD=3BE，A的坐标为（1，8），则m=（　　）

• A． -8
• B． -18
• C． -28
• D． -48

Answer 1

分析 过B作BF∥CD，交AD于F，设AD与x轴交于点G．根据直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出BD=AB=BC，F为AD的中点，CD=2BF．利用平行线分线段成比例定理得出$\frac{FG}{AG}$=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{4}$，求出FG=2，F（1，2），D（1，-4）．由过点A（1，8）的双曲线y=$\frac{k}{x}$（m≠0）也经过点B，得出B（4，2），BF=4-1=3，那么CD=2BF=6，再求出C（7，-4），根据待定系数法求出m的值．

解答 解：如图，过B作BF∥CD，交AD于F，设AD与x轴交于点G．
∵Rt△ADC斜边AC的中点B，
∴BD=AB=BC，F为AD的中点，CD=2BF．
∵BD=3BE，A的坐标为（1，8），
∴AB=3BE，
∴$\frac{FG}{AG}$=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{FG}{8}$=$\frac{1}{4}$，
∴FG=2，
∴F（1，2），
∴AF=8-2=6，
∵DF=AF=6，
∴D（1，-4）．
∵B点纵坐标与F点纵坐标相同为2，过点A（1，8）的双曲线y=$\frac{k}{x}$（m≠0）也经过点B，
∴k=1×8=8，B点横坐标为8÷2=4，
∴B（4，2），
∴BF=4-1=3，
∴CD=2BF=6，
∵D（1，-4），
∴C（7，-4）．
∵双曲线y=$\frac{m}{x}$（m≠0）过点C，
∴m=7×（-4）=-28．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线求出C点坐标是解题的关键．