Question

2．如图，一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一个交点为A（2，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，设点D在反比例函数图象上，且△DBC的面积等于6，请求出点D的坐标；
（3）请直接写出不等式$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$成立的x取值范围．

Answer 1

分析 （1）先将点A（2，m）一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2，求得m，在把A（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中，即可得到结论；
（2）可求得点B的坐标，由S_△DBC=6，列方程即可得到结论；
（3）解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）∵A（2，m）在一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象上，
∴m=$\frac{1}{2}$×2+2=3，
∴A（2，3），
∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一个交点为A（2，3），
∴k=6，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$；

（2）设D（m，$\frac{6}{m}$），
对于一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2，令y=0，则$\frac{1}{2}$x+2=0，
∴x=-4，
∴B（-4，0），
∵AC⊥x轴，
∴C（2，0），
∴BC=6，
∵△DBC的面积等于6，
∴$\frac{1}{2}$×6×|$\frac{6}{m}$|=6，
∴m=±3，
∴D（3，2），或（-3，-2）；

（3）解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+2=y}\\{\frac{6}{x}=y}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴一次函数y=$\frac{1}{2}$x+2的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交点为（-6，1），（2，3），
∴不等式$\frac{1}{2}$x+2＜$\frac{k}{x}$成立的x取值范围是x＜-6，或0＜x＜2．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．