Question

19．O是矩形ABCD边AB的中点，点E从O点出发以每秒1个单位长度向点A运动，到点A就立即返回向点B运动，到达点B时停止．同时点F以同样的速度从点O出发沿射线OB运动，随点E停止而停止．且在两点运动过程中以EF为边作等边三角形EFG．已知AB=12，AD=$4\sqrt{3}$，设点E运动的时间为t（秒）

（1）当点G在矩形的边CD上时，求t的值；
（2）设△EFG与△BCD重叠部分的面积为S，求当t≥2时，S与t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，△EFG的边EG与DB交与点P，当t为何值时，△POB是等腰三角形？（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，OG=BC，根据直角三角形性质可得EO=4，即可求得t值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜10，10≤t＜14，14≤t＜18五种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值

解答 解：（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，
∵点O是EF的中点
∴OG=BC=4$\sqrt{3}$，
∵在△EOG中，∠EGO=30°，
∴$\frac{EO}{GO}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴EO=4
∴t=4s时，等边△EFG的顶点G恰好落在CD上．
（2）①当点G在矩形ABCD内部及在边长CD上这段时间，即t在0-4s，重叠部分的面积为△EFG的面积，
设△EFG的高为h，
根据已知可得，EF=2t，h=$\sqrt{3}$t，
故S_△GEF=$\frac{1}{2}$•EF•h=$\frac{1}{2}$•2t•（$\sqrt{3}$t）=$\sqrt{3}$t²，（0≤t＜4），
②如图1，当点G在矩形ABCD外部，点E运动到点A这段时间，即t在4-6s（AO=6），
设EG、FG分别与CD交于点M，N，△GMN的高为h₁，
则h₁=h-BC=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，
易得△GMN∽△GEF，
∴$\frac{S△GMN}{S△GEF}=\frac{{{h}_{1}}^{2}}{{h}^{2}}$，
∴S_△GMN=$\sqrt{3}$t²•$\frac{（\sqrt{3}t-4\sqrt{3}）^{2}}{（\sqrt{3}t）^{2}}$=$\sqrt{3}$（t-4）²=$\sqrt{3}$（t-4）²，
∴S_{四边形EMNF}=S_△GEF-S_△GMN=$\sqrt{3}$t²-$\sqrt{3}$（t-4）²=8$\sqrt{3}$t-16$\sqrt{3}$，（4≤t＜6），
③当点E到达A点时，F正好在B点，此时等边△GEF图形不再变化，保持向右平移，故重叠面积仍为S_{五边形EMNPB}，直到点N与C点重合，如图2．
设FG与BC交于点P，EF中点为O′，△GMN中的高为h₂，连接O′G，
∵在等边△EFG中，EF=12，
∴O′F=6，GO′=6$\sqrt{3}$，
∵在Rt△BPF中，∠BPF=∠O′GF=30°，
∴$\frac{BF}{PB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∵BF=AE=t-6，
∴PB=$\sqrt{3}$（t-6），
∵h₂=GO′-BC=6$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴MN=4，
∴S=S_梯形EMNF-S_△BPF=$\frac{1}{2}$•（4+12）•4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•（t-6）•$\sqrt{3}$（t-6）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t+14$\sqrt{3}$
当点N与C点重合时，PB=BC，
即：4$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（t-6），
∴t=10s，
故6≤t＜10，重叠面积为=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t+14$\sqrt{3}$．
④点E继续移动，点M与点C重合前这段时间，重叠面积为S_{四边形EBCM}，如图3，
当点M与点C重合时，EB=4，AE=8，
运动总时间为8+6=14s
即10≤t＜14，
由图可知，EB=t-10，
易得等边△GCM的高为2$\sqrt{3}$，
即CM=4，
故S_{四边形EBCM=}$\frac{1}{2}$•（4+t-10）•4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t-12$\sqrt{3}$（10＜t≤14），
⑤点E继续移动，重叠面积为S_△EBQ，直到点E与点B重合，设EG与BC相交于点Q，
EB=t-14，易得EQ=$\sqrt{3}$（t-14），
S_△EBC=$\frac{1}{2}$•（t-14）•$\sqrt{3}$（t-14）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（t-14）²，（14≤t＜18），
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{t}^{2}（0≤t＜6）\\;\\;}\\{8\sqrt{3}t-16\sqrt{3}（4≤t＜10）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+6\sqrt{3}t+14\sqrt{3}（6≤t＜10）}\\{2\sqrt{3}t-12\sqrt{3}（10≤t＜14）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}（t-14）^{2}（14≤t＜18）}\end{array}\right.$
（3）t=6-2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$或t=4或t=8或t=12
理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAB=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=6-t或t-6，
①当AH=AO=6时，（如图4），过点E作EI⊥AH于I，
则AI=$\frac{1}{2}$AH=3，
在Rt△AIE中，cos∠IAE=$\frac{AI}{AE}$，即cos30°=$\frac{3}{AE}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，即6-t=2$\sqrt{3}$或t-6=2$\sqrt{3}$，∴t=6-2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$，
②当HA=HO时，（如图5）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=6，
∴AE+2AE=6，AE=2，
即6-t=2或t-6=2，
∴t=4s或t=8s；
③当OH=OA时，则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=6，
∴t=6+6=12s；
综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=6-2$\sqrt{3}$或6+2$\sqrt{3}$或t=4或t=8或t=12．

点评 本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．