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如图①,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形, ,反比例函数(k>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.

(1)若OA=10,求反比例函数解析式;

(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标;

(3)在(2)中的条件下,过点F作EF∥OB,交OA于点E(如图②),点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO.是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.(2013湖州中考24题)


解:(1)过点A作AH⊥OB于H,

,OA=10,

∴AH=8,OH=6,

∴A点坐标为(6,8),根据题意得:

可得:k=48,

∴反比例函数解析式:y=(x>0);

(2)设OA=a(a>0),过点F作FM⊥x轴于M,

∴AH=a,OH=a,

∴S△AOH=a•a=a2

∵S△AOF=12,

∴S平行四边形AOBC=24,

∵F为BC的中点,

∴S△OBF=6,

∵BF=a,∠FBM=∠AOB,

∴FM=a,BM=a,

∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2

∵点A,F都在y=的图象上,

∴S△AOH=k,

a2=6+a2

∴a=

∴OA=

∴AH=,OH=2

∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24,

∴OB=AC=3

∴C(5 );

(3)存在三种情况:

当∠APO=90°时,在OA的两侧各有一点P,分别为:P1 ),P2(﹣ ),

当∠PAO=90°时,P3 ),

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