Question

30、已知，如图O为圆心，∠AOB=120°，弓形高ND=2cm，矩形EFGH的两顶点E，F在弦AB上，H，G在弧AB上，且EF=4HE，求HE的长．

Answer 1

分析：根据∠AOB=120°可得：∠AON=60°，在直角△AON中根据三角函数即可求得圆的半径，连接OH．设HE为x．HM=2x．MO=x+2．在直角△AON中，利用勾股定理即可列方程，从而求得HE的长．

解答：解：∵∠AOB=120°，
∴∠AON=60°，
在直角△AON中，∠OAN=30°，
∴OA=2ON=2（OD-ND）=2（OA-ND），即OA=2（OA-2），
解得：OA=4cm，则ON=2cm，
连接OH，在直角△OHM中，OH=4，
∵EF=4HE，HM=GM，
∴HM=2MN，
设HE为x．HM=2x．MO=x+2，
在直角△AON中根据勾股定理可得：（x+2）²+（2x）²=4²，
整理得，5x²+4x-12=0，
解得：x=1.2cm．

点评：本题主要考查了垂径定理的应用，利用垂径定理可以把求弦长或圆心角的问题转化为解直角三角形的问题．