Question

4．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，点P是边AD上一点（不含端点），连接CP，将四边形ABCP沿CP所在直线翻折，落在四边形EFCP的位置，点A、B的对应点分别为点E，F，边CF与边AD的交点为点G．
（1）当AP=2时，求PG的值；
（2）如果AP=x，FG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连结BP并延长与线段CF交于点M，当△PGM是以MG为腰的等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）设PG=a，则在RT△DGC中，CG=a，DG=3-a，CD=2，利用勾股定理即可解决问题．
（2）在RT△DGC中，CD²+DG²=CG²，得到（y-x）²+2²=（5-y）²，由此即可解决问题．
（3）如图1中，分两种情形讨论即可，①MG=MP，只要证明△APB≌△DGC，得到AP=DG，列出方程即可，②MG=PG，只要证明△ABP，△DPC，△BPC均为直角三角形，根据AP²+AB²+DP²+CD²=BC²，列出方程即可．

解答 （1）由题意得：四边形ABCP与四边形EFCP全等．
∴∠BCP=∠FCP．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCP=∠DPC，
∴∠DCP=∠FCP，
∴PG=CG，
设PG=a，
则在RT△DGC中，CG=a，DG=3-a，CD=2，且CD²+DG²=CG²，
∴2²+（3-a）²=a²，解得：a=$\frac{13}{6}$，
即PG=$\frac{13}{6}$．
（2）由题意得：CF=BC=5，
∴CG=5-y，
∴PG=5-y，
∴DG=5-（5-y）-x=y-x，
∵在RT△DGC中，CD²+DG²=CG²，
∴（y-x）²+2²=（5-y）²，
∴y=$\frac{21-{x}^{2}}{10-2x}$，
∴y关于x的函数解析式为：y=$\frac{21-{x}^{2}}{10-2x}$，（0＜x≤3）
（3）∵△PGM是以MG为腰的等腰三角形，
∴MG=MP或MG=PG，如图1中，
①当MG=MP时，
∵∠MPG=∠MGC，
∵∠APB=∠MPG，∠MGP=∠DGC，
∴∠APB=∠DGC，
在△APB和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠APB=∠DGC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△DGC，
∴AP=DG，
∴y=2x，
∴$\frac{21-{x}^{2}}{10-2x}$=2x，化简整理得：3x²-20x+21=0，解得：x=$\frac{10±\sqrt{37}}{3}$，
∵x=$\frac{10+\sqrt{37}}{3}$＞3不符合题意舍去，
∴x=$\frac{10-\sqrt{37}}{3}$．
②当MG=PG时，
∵∠MPG=∠PMG，
∵∠MPG=∠MBC，
∴∠MBC=∠PMC，
∴CM=CB，（即点M与点F重合）．
又∵∠BCP=∠MCP，
∴CP⊥BP，
∴△ABP，△DPC，△BPC均为直角三角形．
∴AP²+AB²+DP²+CD²=BC²，即x²+2²+（5-x）²+2²=5²，
化简整理得：x²-5x+4=0，解得：x=1或4．
∵x=4＞3不符合题意舍弃，
∴x=1．
补充：由PG=FG可得y-5=y，y=$\frac{5}{2}$，代入（2）中关系式即可求出x．
综上所述：当△PGM是以MG腰2的等腰三角形时，AP=$\frac{10-\sqrt{37}}{3}$或1．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数利用勾股定理构建方程，学会分类讨论，注意考虑问题要全面，不能漏解，属于中考压轴题．