Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，A，N是AB边上的两点，且满足∠MCN＝45°，若AM＝3，则MN的长为_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

将△CBN顺时针旋转90度得到△ACR，连接RM得到△CRA≌△CNB全等BN=AR，再证△CNM≌△CRM，即可得到MR=MN，再证△ARM是直角三角形并利用勾股定理解三角形即可.

解：如图，将△CBN顺时针旋转90度，得到△ACR，连接RM

则△CRA≌△CNB全等，

∴AR＝BN，∠B＝∠CAR，∠BCN＝∠ACR，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，

∴AB＝12，∠B＝∠CAB＝45°，

∴∠CAR＝45°，

∴∠MAR＝90°，

∵∠MCN＝45°，

∴∠BCN+∠ACM＝45°＝∠ACM+∠ACR，

∴∠MCN＝∠MCR，且CN＝CR，CM＝CM，

∴△CNM≌△CRM（SAS）

∴MN＝MR，

∵AB＝12，AM＝3，

∴BN+MN＝9，

∴BN＝AR＝9﹣MN，

∵MR2＝AM2+AR2，

∴MN2＝（9﹣MN）2+9，

∴MN＝5

故答案为5．