Question

1．在圆O中，直径AB=2，D为圆上的一点，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，延长AD至点C，使CD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，连接BD，H为直径AB上的一点，过点H作AB的垂线交圆O于点E，交射线BD于点F，连接CF．
（1）求证：BC与圆O相切；
（2）当BH等于多少时，△BCF为等腰三角形；
（3）当BH等于多少时，CF⊥AE．

Answer 1

分析 （1）在直角△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用勾股定理即可求得BC的长，则利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形，从而证明切线；
（2）分成BF=FC，BF=BC=1和BC=FC=1三种情况进行讨论，利用切线的性质以及勾股定理即可求解；
（3）BE⊥AE，则当EF=BC时，四边形BCFE是平行四边形，CF⊥AE，即当EF=BC时，CF⊥AE，设BH=x，列方程即可求解．

解答 解（1）∵AB是直径，AB⊥ED，
∴AB⊥EF，
∴AE=AF，
∴∠EAB=∠DAB，
∵tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴tan$∠EAB=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EH}{AH}$=$\frac{1}{2}$
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴BD²+（2BD）²=2²，
解得BD=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴AD=2BD=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∴AC=AD+DC=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{5}$
在RT△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+D{C}^{2}}$=1，
∴AC²=BC²+AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC与圆O相切；
（2）分三种情况，
①BF=FC时，则BC=2FH，
∴FH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，如图1，

∵BC是切线，
∴∠DBC=∠BAD，
∵AB⊥BC，AB⊥EF，
∴EF∥BC，
∴∠HFB=∠DBC=∠BAD，
∴tan∠HFB=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\frac{1}{2}$FH=$\frac{1}{4}$；
②BF=BC=1时，
∵tan∠HFB=$\frac{1}{2}$，
∴在RT△BFH中，BH²+（2BH）²=BF²，
∴BH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
③BC=FC=1时，如图2，

∵AC⊥BF，
∴BD=DE=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∵tan∠HFB=$\frac{1}{2}$，
∴在RT△BFH中，BH²+（2BH）²=BF²，
∴BH=$\frac{4}{5}$．
（3）设BH=x，
∵∠CBD=∠BAD，tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴HF=2BH=2x，
连接OE，BE．如图3，
在直角△OEH中，EH=$\sqrt{O{E}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（1-x）^{2}}$=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$．
当EF=BC时，四边形BCFE是平行四边形，AE⊥BE，则CF⊥AE．
则$\sqrt{2x-{x}^{2}}$+2x=1，
解得：x=$\frac{1}{5}$或1（不合题意舍去）．
即BH=$\frac{1}{5}$时，CF⊥AE．

点评 本题考查了切线的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理和逆定理，正确理解CF⊥AE的条件是关键．