Question

3．如图，在△ABC中E是BC的中点，点D是AC的中点，四边形CDFE的面积为7，则△ABC的面积=21．

Answer 1

分析 证明S_△ABF=4S_△DEF（设为μ），S_△ABC=4S_△CDE，列出有关面积λ、μ的方程组，解方程组即可解决问题．

解答 解，如图，连接DE．
∵E是BC的中点，点D是AC的中点，
∵DE∥AB，
∴△ADE与△BDE的面积相等，
∴△AEF与△BDF的面积也相等，设为λ；
∵△DEF∽△ABF，
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{DE}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$；
∴S_△ABF=4S_△DEF（设为μ），
∴四边形ABDE的面积=2λ+5μ；
同理可证：S_△ABC=4S_△CDE，
∴S_△CDE=$\frac{1}{3}$（2λ+5μ）；
∵S_{四边形CDFE}=7，
∴μ+$\frac{1}{3}$（2λ+5μ）=7①；
∵BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD，而S_△BDF=S_△AEF，
∴S_△ABF=S_{四边形DCEF}=7，
即4μ=8②，
联立①②并解得：λ=4，μ=2，
∴△ABC的面积=4μ+2λ+7=21．
故答案是：21．

点评 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断；对综合的分析问题解决问题的能力、运算求解能力均提出了一定的要求．