Question

【题目】如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点G．

（1）猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论；

（2）若，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．

（1）GF=GC．理由如下：

连接GE，

∵在矩形ABCD中，
∴∠B=∠C=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，∠AFE=∠B=∠EFG=90°，AF=AB=3，
∴EF=EC，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF=GC；

（2）设GC=，则AG=AF+FG=，DG=，
在Rt△ADG中，，即，
解得．

∴GC的长为．