Question

5．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F
（1）求证：EF=DE；
（2）若AC=BC，判断四边形ADCF的形状．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE；
（2）首先证得四边形ADCF是平行四边形、四边形DBCF也为平行四边形，从而得到BC=DF，然后根据AC=BC得到AC=DE，从而得到四边形ADCF是矩形．

解答 解：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∴E为AC中点，
∴AE=EC，
∵CF∥BD，
∴∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠F}\\{∠AED=∠CEF}\\{AE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=FE．

（2）解：四边形ADCF是矩形．
∵DE=FE，AE=AC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴BC=DF，
∵AC=BC，
∴AC=DE，
∴四边形ADCF是正方形．

点评 本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理的知识，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，难度不大．