Question

2．如图，在长方形ABCD中，AB=18厘米，BC=9厘米，点P沿AB边从点A开始像点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么：
（1）如图1，当t为何值时，AP=AQ？
（2）如图2，当t为何值时，△QAB的面积等长方形ABCD的面积的$\frac{1}{4}$？
（3）如图3，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动，当t为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．

Answer 1

分析 （1）当t秒时，DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，由6-t=2t建立方程求出其解即可；
（2）可以得出S_△QAB=$\frac{AQ•AB}{2}$，根据矩形的面积公式可以表示出矩形面积的$\frac{1}{4}$，根据条件建立方程求出其解即可；
（3）当Q在AB边上时，AQ=t-9，CP=27-2t，由AQ的长等于线段CP的长的一半建立方程求出其解即可

解答 解：（1）如图1，由题意，得
DQ=tcm，AQ=（9-t）cm，AP=2t cm，当AQ=AP时，
9-t=2t
解得：t=3，
所以，当t=3时，AP=AQ；

（2）如图2，∵DQ=tcm，
∴AQ=（9-t） cm，
S_△QAB=$\frac{1}{2}$（9-t）×18
$\frac{1}{2}$（9-t）×18=$\frac{1}{4}$×9×18，
解得：t=$\frac{9}{2}$，
即当t=$\frac{9}{2}$ 时，△QAB的面积等长方形ABCD的面积的$\frac{1}{4}$；

（3）如图3，由题意，得
AQ=（t-9）cm，CP=（27-2t）cm，
∴t-9=$\frac{1}{2}$（27-2t），
解得：t=$\frac{45}{4}$．
即当t=$\frac{45}{4}$时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半．

点评 本题是一道几何动点问题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用，三角形面积公式的运用，矩形的面积公式的运用，解答时根据题意建立方程是关键．