Question

8．如图，在直角坐标系中，已知A（3，0），点B为直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上的一个动点，延长AB至C，使得AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D，交直线OB于点F，过点A作AE∥OB交直线CD于点E．
（1）若B点的横坐标为6，则DE的长度为2$\sqrt{3}$．
（2）在点B的运动过程中，线段CF的长度是否发生改变？若不变，请求出线段CF的长度；若改变，请说明理由．
（3）连接BE，在点B的运动过程中，当△ABE为直角三角形时，求出点E的坐标，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=6代入直线OB解析式求出y的值，确定出B坐标，根据B为AC中点，求出C的坐标，再由AE与OB平行确定出直线AE解析式，由CD垂直于x轴，得到E与C横坐标相同，把C横坐标代入直线AE解析式求出E的纵坐标，即为DE的长；
（2）在点B的运动过程中，线段CF的长度不发生改变，设B横坐标为a，代入直线OB解析式表示出纵坐标，根据B为AC中点，表示出C的坐标，再由AE与OB平行确定出直线AE解析式，由CD垂直于x轴，得到E与C横坐标相同，把C横坐标代入直线AE解析式表示出E的纵坐标，由CD-DE求出CE的长，根据F为CE中点，求出CF的长即可；
（3）连接BE，显然AB不可能与AE垂直，根据（2）得出B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），E（2a-3，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-2$\sqrt{3}$），进而分两种情况考虑：若AB⊥BE；若BE⊥AE，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出a的值，即可确定出满足题意E的坐标．

解答 解：（1）把x=6代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得：y=2$\sqrt{3}$，
∵A（3，0），B（6，2$\sqrt{3}$），且B为AC中点，
∴C（9，4$\sqrt{3}$），
由AE∥OB，且直线OB解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，故设直线AE解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把A（3，0）代入得：b=-$\sqrt{3}$，即直线AE解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，
由CD⊥x轴，得到C与E横坐标相同，
把x=9代入直线AE解析式得：y=2$\sqrt{3}$，
则DE=2$\sqrt{3}$；
故答案为：2$\sqrt{3}$；
（2）在点B的运动过程中，线段CF的长度不发生改变，
设B横坐标为a，则有B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），
∵A（3，0），且B为AC中点，
∴C（2a-3，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a），
由CD⊥x轴，得到C与E横坐标相同，即CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
把x=2a-3代入直线AE解析式y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，得：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2a-3）-$\sqrt{3}$，即DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-2$\sqrt{3}$，
则CF=$\frac{CE}{2}$=$\frac{CD-DE}{2}$=$\sqrt{3}$；
（3）连接BE，显然∠BAE不可能为90°，
由（2）得到B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），E（2a-3，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a-2$\sqrt{3}$），
若AB⊥BE，则有k_AB•k_BE=-1，即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a-3}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a-2\sqrt{3}}{a-3}$=-1，
整理得：4a²-18a+21=0，
∵△=324-336=-12＜0，
∴此方程无解，AB不可能垂直于BE；
若BE⊥AE，则有k_AE•k_BE=-1，即$\frac{\sqrt{3}}{3}$•$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a-2\sqrt{3}}{a-3}$=-1，
解得：a=$\frac{15}{4}$，
此时E（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$），
综上，当△ABE为直角三角形时，点E的坐标为（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线平行时斜率满足的关系，两直线垂直时斜率满足的关系，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．