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18.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若AD=2CD,菱形的面积是16,求AC的长.

分析 (1)根据对边平行得四边形OCED是平行四边形,由原矩形对角线相等且互相平分得OC=OD,所以四边形OCED是菱形;
(2)连接对角线,根据菱形对角线平分面积得出△OCD的面积是菱形面积的一半=8,设CD=x,根据中位线性质求出OF的长,根据三角形面积公式列方程解出即可.

解答 证明:(1)∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OD=$\frac{1}{2}$BD,OC=$\frac{1}{2}$AC,
∴OC=OD,
∴?OCED是菱形;
(2)∵S菱形=16,
∴S△OCD=8,
连接OE,交CD于F,则OE⊥CD,
设CD=x,则AD=2x,
∵AO=OC,DF=FC,
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=x,
∴S△OCD=$\frac{1}{2}$CD•OF=$\frac{1}{2}{x}^{2}$=8
x=±4,
∵x>0,
∴x=4,
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{(2x)^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x=4$\sqrt{5}$.

点评 本题既考查了菱形的性质,也考查了矩形的性质,是常考题型,难度不大;需要熟练掌握矩形、菱形的边、角、对角线的关系,不能互相混淆.

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