Question

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？
（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由线段的长度得出点A、B、C的坐标，然后把A、B、C三点的坐标分别代入y=ax²+bx+c，解方程组，即可得抛物线的解析式；
（2）设运动时间为t秒，则MB=6-3t，然后根据△BHN∽△BOC，求得NH=$\frac{3}{5}t$，再利用三角形的面积公式列出S_△MBN与t的函数关系式S_△MBN=-$\frac{9}{10}$（t-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{5}{2}$，利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6．由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为（m，-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m+6）．过点P作PE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S_△PBC=$\frac{45}{2}$．则根据图形得到S_△PBC=S_△CEP+S_△BEP=$\frac{1}{2}$EP•m+$\frac{1}{2}$•EP•（8-m），把相关线段的长度代入推知：-$\frac{3}{2}$m²+12m=$\frac{45}{2}$=$\frac{45}{2}$．

解答 解：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，
∴根据函数图象得A（-2，0），B（8，0），C（0，6），
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}4a-2b+c=0\\ 64a+8b+c=0\\ c=6\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{8}\\ b=\frac{9}{4}\\ c=6\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{9}{4}$x+6；
（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．
∴MB=10-3t．
由题意得，点C的坐标为（0，6）．
在Rt△BOC中，BC=$\sqrt{{8^2}+{6^2}}$=10．
如图，过点N作NH⊥AB于点H．
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴$\frac{HN}{OC}$=$\frac{BN}{BC}$，即$\frac{HN}{6}$=$\frac{t}{10}$，
∴HN=$\frac{3}{5}$t．
∴S_△MBN=$\frac{1}{2}$MB•HN=$\frac{1}{2}$（10-3t）•$\frac{3}{5}$t=-$\frac{9}{10}$t2+3t=-$\frac{9}{10}$（t-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{5}{2}$，
当△MBN存在时，0＜t＜2，
∴当t=$\frac{5}{3}$时，
S_△MBN最大=$\frac{5}{2}$．
答：运动$\frac{5}{3}$秒使△MBN的面积最大，最大面积是$\frac{5}{2}$；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（8，0），C（0，6）代入，得$\left\{\begin{array}{l}8k+c=0\\ c=6\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{3}{4}\\ c=6\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6．
∵点P在抛物线上．
∴设点P的坐标为（m，-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m+6），
如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m，-$\frac{3}{4}$m+6）．

∴EP=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{9}{4}$m+6-（-$\frac{3}{4}$m+6）=-$\frac{3}{8}$m²+3m，
当△MBN的面积最大时，S_△PBC=9 S_△MBN=$\frac{45}{2}$，
∴S_△PBC=S_△CEP+S_△BEP=$\frac{1}{2}$EP•m+$\frac{1}{2}$•EP•（8-m）=$\frac{1}{2}$×8•EP=4×（-$\frac{3}{8}$m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+12m，即-$\frac{3}{2}$m²+12m=$\frac{45}{2}$=$\frac{45}{2}$．解得m₁=3，m₂=5，
∴P（3，$\frac{75}{8}$）或（5，$\frac{63}{8}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、三角形的面积公式，依据题意列出关于S_△MBN与t的函数关系式以及S_△PBC的面积与m的函数关系式是解题的关键．