Question

10．如图，在Rt△AOB中，点C为线段AB的中点，OB=4，∠A=30°，点P从点O出发以每秒1个单位的速度先沿OB方向运动到点B，再沿BA方向运动到终点A，设点P运动时间为t秒，以OP，OC为邻边构造?OPDC．
（1）当点P在线段OB上时，S?OPDC=2$\sqrt{3}$t（用含t的代数式表示）；
（2）在整个运动过程中，当?OPDC的面积为6$\sqrt{3}$时，求t的值；
（3）连接OD，作点C关于直线OD的对称点C′落在△AOB的边上时，则t=4或$\frac{28}{3}$．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥OB，垂足为E．先依据直角三角形斜边上的中线的性质和含30°直角三角形的性质可证明OC=OB=BC，然后可求得CE的长，最后依据平行四边形的面积公式求解即可；
（2）当点P在OB上时，由S=2$\sqrt{3}$t可求得t的值；当点P在AB上时，过点O作OE⊥BC，垂足为E．然后求得OE的长，最后依据平行四边形的面积=2△COP的面积=CP•OE可求得PC的长，从而可求得t的值；
（3）当点P与点A重合时，可证明四边形OPDC为菱形，则点C与点P关于OD对称；当点P在AB上，点C关于OD的对称点E在OB上，可证明△BFC和△FCP均为直角三角形且∠PFC=30°，依据特殊锐角三角函数值依次求得FC和PC的长，从而可求得t的值．

解答 解：（1）过点C作CE⊥OB，垂足为E．

∵在Rt△AOB中，OB=4，∠A=30°，
∴AB=8，∠B=60°．
∵点C为线段AB的中点，
∴OC=4．
∴△ABC为等边三角形．
∴EC=sin60°•OC=2$\sqrt{3}$．
∴平行四边形OPDC的面积=OP•CP=2$\sqrt{3}$t．
故答案为：2$\sqrt{3}$t．

（2）当点P在OB上时，2$\sqrt{3}$t=6$\sqrt{3}$，解得t=3．
如图2所示：当点P在AB上时．过点O作OE⊥BC，垂足为E．

∵△OBC为等边三角形，OE⊥BC，
∴OE=sin60°OC=2$\sqrt{3}$．
∴平行四边形的面积=2△COP的面积=2×$\frac{1}{2}$×CP•OE=2$\sqrt{3}$CP=6$\sqrt{3}$．
∴CP=3，PB=1．
∴t=5．
当点P位于点P′处时，P′B=3+4=7，
∴t=4+7=11．

（3）如图3所示：当点P与点A重合时．

∵△APC为等边三角形，
∴OC=OP．
∵四边形OPDC为平行四边形，
∴四边形OPDC为菱形．
∴点C与点P关于OD对称．
∴t=4．
如图4所示：当点P在AB上，点C关于OD的对称点E在OB上．

∵△OAC为等边三角形，∠BOA=90°，
∴∠FOC=30°．
∵PD∥OC，
∴∠EFP=∠FOC=30°．
由轴对称图形的性质可知∠EFP=∠CFP=30°．
∴∠BFC=60°．
又∵∠B=30°，
∴∠BCF=90°．
在Rt△BFC中，FC=BC•tan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵Rt△FCP中，∠PFC=30°，FC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴PC=FC•tan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∴点P运动的路程=OA+AC+PC=4+4+$\frac{4}{3}$=$\frac{28}{3}$．
∴t=$\frac{28}{3}$．
综上所述t=4或t=$\frac{28}{3}$时，C关于直线OD的对称点C′落在△AOB的边上．
故答案为：4或$\frac{28}{3}$．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了直角三角形的性质、特殊锐角三角函数，翻折的性质、等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．