Question

16．已知四边形ABCD是正方形，M、N分别是边BC、CD上的动点，正方形ABCD的边长为4cm
（1）如图①，O就正方形ABCD对角线的交点，若OM⊥ON，求四边形MONC的面积；
（2）连接线段MN，探究当MN取到最小值时，判断MN与对角线BD的数量关系和位置关系，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形性质得出OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，求出∠NOC=∠BOM，根据ASA证△NOC≌△MOB，得出四边形MONC的面积等于三角形COB的面积，根据正方形的面积求出即可；
（2）由于△MON为等腰直角三角形，要使MN取到最小值，则OM、ON最小即可，只要当OM⊥BC，ON⊥CD时，符合要求，由此利用三角形的中位线定理，进一步证得MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}$BD即可．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM，
∴∠CON=∠BOM，
∵在△CON和△BOM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCO=∠MBO}\\{OC=OB}\\{∠NOC=∠MOB}\end{array}\right.$，
∴△CON≌△BOM（ASA），
∴S_△NCO=S_△BOM，
∴S_{四边形MONC}
=S_△NOC+S_△COM
=S_△BOM+S_△COM
=S_△COB=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}
=$\frac{1}{4}$×4cm×4cm
=4cm²，
答：四边形MONC的面积是4cm²．
（2）当MN取到最小值时，MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}$BD．
理由：MN取到最小值，则OM、ON最小，
当OM⊥BC，ON⊥CD时，OM、ON最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD=OB，∠COD=∠COB=90°，
∵OM⊥BC，ON⊥CD，
∴ON=$\frac{1}{2}$CD，OM=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}$BD．

点评 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，以及三角形的中位线定理，知识综合性较强，灵活运用知识，结合图形解决问题．