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如图12,AB是⊙O的直径,经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B.

(1)  求证:直线CD是⊙O的切线;

(2)  过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E,且AB=5,BD=2,求线段AE的长.


解:(1)证明:连结OD,OD=OB,∠ODB=∠B,

∠ADC=∠B,∠ODB=∠ADC;

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90 º,

∠ADO+∠ADC =90 º,∠ODC=90 º,OD⊥CD,

∴直线CD是⊙O的切线。

(2)AB=5,BD=2,DA=AB2-BD2=1,

∵AE⊥AB,∠EAB=∠ADB=90 º,∠B=∠B,△EAB∽△ADB,

AEDA= ABDB, AE= AB·DADB= 52.

答:线段AE的长为52。


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