Question

【题目】如图所示，四边形ABCD是矩形，已知PB=PC.

(1)若P是矩形外一点，求证：PA=PD；

(2)若P是矩形边AD(或BC)上的一点，则PA PD；

(3)若点P在矩形ABCD内部，上述结论是否仍然成立？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）=；（3）成立，理由详见解析.

【解析】

（1）由四边形ABCD是矩形，可得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又由PB=PC可得∠PBC=∠PCB，求出∠PBA=∠PCD，进而利用SAS证明△APB≌△DPC即可得到PA=PD；

（2）当P是矩形边AD(或BC)上的一点，通过HL可证Rt△APB≌Rt△DPC，得到PA=PD；

（3）当点P在矩形ABCD内部时，同（1）可证△APB≌△DPC，得到PA=PD.

(1)证明：如图①，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，

∵PB=PC，

∴∠PBC=∠PCB，

∴∠PBA=∠PCD.

在△APB和△DPC中，，

∴△APB≌△DPC，

∴PA=PD；

(2) 如图②，当P是矩形边AD上的一点，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=DC，PB=PC，

∴Rt△APB≌Rt△DPC（HL），

∴PA=PD，

当P是矩形边BC上的一点，同理可得：PA=PD，

∴若P是矩形边AD(或BC)上的一点，则PA=PD；

(3)成立．

理由如下：

如图③，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，

∵PB=PC，

∴∠PBC=∠PCB，

∴∠PBA=∠PCD.

在△APB和△DPC中，，

∴△APB≌△DPC，

∴PA=PD.