【题目】(10分)将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点.
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;
(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时□DPBQ的面积.
【答案】(1)DP的长为
(2)∠PDA的度数为75°;
(3)点CP长为时,此时□DPBQ的面积为
【解析】解:在Rt△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,∴BC=,AC=3.
(1)如图(1),作DF⊥AC,∵Rt△ACD中,AD=CD,∴DF=AF=CF=.
∵BP平分∠ABC,∴∠PBC=30°,∴CP=BC·tan30°=1,∴PF=,∴DP==.
(2)当P点位置如图(2)所示时,根据(1)中结论,DF=,∠ADF=45°,又PD=BC=,∴cos∠PDF==,∴∠PDF=30°.
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°.
当P点位置如图(3)所示时,同(2)可得∠PDF=30°.
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°.
(3)CP=.
在□DPBQ中,BC∥DP,∵∠ACB=90°,∴DP⊥AC.根据(1)中结论可知,DP=CP=,∴S□DPBQ==.
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【题目】如图①,已知∠AOB=80°,OC是∠AOB内的一条射线,OD,OE分别平分∠BOC和∠COA.
(1)求∠DOE的度数;
(2)当射线OC绕点O旋转到OB的左侧时如图②(或旋转到OA的右侧时如图③),OD,OE仍是∠BOC和∠COA的平分线,此时∠DOE的大小是否和(1)中的答案相同?若相同,请选取一种情况写出你的求解过程;若不相同,请说明理由.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣ ).
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;
(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知:如图1,平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2).点D是线段BC上的一个动点(点D与点B,C不重合),过点D作直线y=-x+b交折线O-A-B于点E.
(1)在点D运动的过程中,若△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)如图2,当点E在线段OA上时,矩形OABC关于直线DE对称的图形为矩形O′A′B′C′,C′B′分别交CB,OA于点D,M,O′A′分别交CB,OA于点N,E.求证:四边形DMEN是菱形;
(3)问题(2)中的四边形DMEN中,ME的长为____________.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,BC、AD是⊙O的切线,切点分别为B、A,过点O作EC⊥OD,EC交BC于点C,交AD于点E.
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若AE=1,AD=3,求阴影部分的面积.(结果保留π)
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【题目】下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成,其中,第①个图形一共有1个平行四边形,第②个图形一共有5个平形四边形,第③个图形一共有11个平行四边形,……,则第⑥个图形中平行四边形的个数为__________.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点 E、F分别为边 AD、CD上的动点(都与菱形的顶点不重合),联结 EF、BE、BF .
(1)若∠A=60°,且 AE+CF=AB,判断△BEF 的形状,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,设菱形的边长为a,求△BEF面积的最小值.
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点,且∠ECF=45°,过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M,垂足分别为H、G.现有以下结论:
①AB=; ②当点E与点B重合时,MH=; ③AF+BE=EF;④F、E分别不与端点A、B重合时,总有S△AGF+ S△EBH= S△FEM,其中正确结论为--------------------------( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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【题目】我国曾五次实施药品降价,累计降价的总金额为269亿元,五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示,表中缺失了2003年、2007年相关数据。已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍,结合表中信息,求2003年和2007年的药品降价金额。
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