【题目】如图(1),抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)k= , 点A的坐标为 , 点B的坐标为;
(2)设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在抛物线y=x2﹣2x+k上求出点Q坐标,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
【答案】
(1)﹣3,(﹣1,0),(3,0)
(2)解:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,则M(1,﹣4),
抛物线的对称轴交x轴于N,如图(1),
四边形ABMC的面积=S△AOC+S梯形OCMN+S△MNB= ×1×3+ ×(3+4)×1+ ×4×(3﹣1)=9
(3)解:存在.
作DE∥y轴交直线BC于E,如图(2),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,﹣3)代入得 ,解得 ,
∴直线BC的解析式为y=x﹣3,
设D(x,x2﹣2x﹣3),则E(x,x﹣3),
∴DE=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△BCD= DE3=﹣ x2+ x=﹣ (x﹣ )2+ ,
当x= 时,S△BCD有最大值,
∵S△ACB= ×4×3=6,
∴x= 时,四边形ABDC的面积最大,
此时D点坐标为( ,﹣ );
(4)解:∵OB=OC=3,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴∠OCB=∠OBC=45°,
当∠CBQ=90°时,BQ交y轴于G点,如图(3),则∠OBG=45°,
∴OG=OB=3,则G(0,3),
易得直线BG的解析式为y=﹣x+3,
解方程组 得 或 ,
∴Q(﹣2,5);
当∠BCQ=90°时,CQ交x轴于H点,如图(3),
则∠OCH=45°,
∴OH=OC=3,则H(﹣3,0),
易得直线CH的解析式为y=﹣x﹣3,
解方程组 得 或 ,
∴Q(1,﹣2);
综上所述,点Q坐标为(1,﹣2)或(2,5)时,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
【解析】解:(1)把C(0,﹣3)代入y=x2﹣2x+k得k=﹣3,
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3,
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,则A(﹣1,0),B(3,0);
所以答案是﹣3,(﹣1,0),(3,0);
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点A在y轴的正半轴上,坐标为,点B在x轴的负半轴上,坐标为,同时满足,连接AB,且AB=10.点D是x轴正半轴上的一个动点,点E是线段AB上的一个动点,连接DE.
(1)求A、B两点坐标;
(2)若,点D的横坐标为x,线段的长为d,请用含x的式子表示d;
(3)若,AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE,相交于点F,求∠F的度数.
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【题目】2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)直接写出点C,D的坐标,求出四边形ABDC的面积;
(2)在x轴上是否存在一点F,使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍,若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/时,水速为2千米/时,求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距x千米.根据题意,可列出的方程是:( )
A.B.
C.D.
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【题目】已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,现按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,a为半径(a>AC)作弧,两弧分别交于M,N两点;
②过M,N两点作直线MN交AB于点D,交AC于点E;
③将△ADE绕点E顺时针旋转180°,设点D的像为点F.
(1)请在图中直线标出点F并连接CF;
(2)求证:四边形BCFD是平行四边形;
(3)当∠B为多少度时,四边形BCFD是菱形.
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【题目】阅读以下材料:对于三个数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数.例如:M{﹣1,2,3}==;min{﹣1,2,3}=﹣1;min{﹣1,2,a}=
解决下列问题:
(1)若min{2,2x+2,4﹣2x}=2,则x的范围__________;
(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x;
②根据①,你发现了结论“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么__________(填a,b,c的大小关系)”.
③运用②的结论,若M{2x+y+2,x+2y,2x﹣y}=min{2x+y+2,x+2y,2x﹣y},求x+y的值.
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