阅读下列材料.并解决问题．如图1.在锐角△ABC中.∠A.∠B.∠C的对边分别是a.b.c.过A作 AD⊥BC于D.则sinB=ADc.sinC=ADb.即AD=csinB.AD=bsinC.于是csinB=bsinC.即bsinB=csinC．同理有:csinC=asinA.asinA=bsinB.所以asinA=bsinB=csinC．即:在一个三角形中.各边和它所对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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阅读下列材料，并解决问题．
如图1，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D，则sinB=

，sinC=

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即

sinB

sinC

．同理有：

sinC

sinA

，

sinA

sinB

，所以

sinA

sinB

sinC

．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）如图2，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．
（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BD⊥AC于D，求出∠DBC=30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的长，由勾股定理求出AB即可；
（2）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．

解答：解：（1）如图，

依题意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，

sin∠ACB

sin∠A

，即

sin60

sin45

，
解之得：AB=15

．答：货轮距灯塔的距离AB=15

海里．

（2）过点B作AC的垂线BD，
在直角三角形ABD中，∠A=45°，AB=15

，
所以AD=15

，
在直角三角形BDC中，∠BCD=60°，BC=30°，可求得CD=15，所以AC=15

+15，
由题意得，

+15

sin75

sin60

，sin75=

．

点评：本题主要考查了方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点．

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