Question

阅读理解：
条件：
如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+AB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小．
应用：
（1）如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是

5

；
（2）如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由所给的例子可知，PB+PE的最小值是DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得出DE的长；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，求出A′C的长即可．

解答：解：（1）由所给的例子可知，PB+PE的最小值是DE的长，
∵正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，
∴AE=1，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

22+12

=

5

．
故答案为：

5

；

（2）如图所示：作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=

3

∴A′C=2

3

故答案为：2

3

．

点评：本题考查的是轴对称--最短路线的问题，涉及到正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．