Question

如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4

3

，PB=4，∠AEB=60°．
（1）求证：△PDE∽△PCA；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求⊙O的面积．（答案保留π）

Answer 1

分析：（1）根据弦切角定理和角平分线可以得出∠PEB=∠EAB，∠CPE=∠CPA，有了这两组相等的对应角，两三角形也就相似了；
（2）可根据切割线定理进行求解，根据切割线定理我们可得出PA的值，有了PB，PA的值，那么可先表示出PB+PA，PB•PA，利用一元二次方程根与系数的关系即可取出所求的方程；
（3）本题的关键是求出半径的长，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，那么∠EAB=90°，根据圆周角定理我们可得出∠F的度数，又知道了AB的长，那么可用正弦函数求出BF的长，也就求出了半径的长，有了半径，根据圆的面积公式即可求出圆O的面积．

解答：（1）证明：由弦切角定理得∠PEB=∠EAB，
∵PC是∠APE的平分线，
∴∠CPE=∠CPA，
∴△PDE∽△PCA；

（2）解：由切割线定理得PE²=PA•PB，
∵PE=4

3

，PB=4，
∴PA=12，
∴PA+PB=16，PA•PB=48，
∴所求方程为：x²-16x+48=0；

（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，
则BF是⊙O的直径，
∴∠BAF=90°，
∴∠AEB=∠F=60°
在Rt△ABF中，sin60°=

AF

BF

=

PA-PB

BF

=

12-4

BF

=

8

BF

=

3

2

，
∴BF=

16 3

3

．
∴⊙O的面积为：π（

BF

2

）²=π(

1

2

×

16 3

3

)2=

64π

3

（面积单位）．

点评：本题主要考查了弦切角定理，切割线定理，圆周角定理，一元二次方程根与系数的关系和解直角三角形等知识点，综合性比较强，对于学生分析问题的能力要求比较高．