Question

如图，直线CB∥OA，∠C=∠A=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-120°=60°，
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB=∠AOC=×60°=30°；

（2）∠OBC：∠OFC的值不会发生变化，为1：2，
∵CB∥OA，
∴∠OBC=∠BOA，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠BOC=∠FOB，
∴∠OFC=∠OBC+∠FOB=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2；

（3）当平行移动AB至∠OBA=45°时，∠OEC=∠OBA．
设∠AOB=x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO=∠AOB=x，
∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+30°，
∠OBA=180°-∠A-∠AOB=180°-120°-x=60°-x，
∴x+30°=60°-x，
∴x=15°，
∴∠OEC=∠OBA=60°-15°=45°．
分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠AOC，代入数据即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOA，从而得到∠OBC=∠FOB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFC=2∠OBC，从而得解；
（3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．
点评：本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．