Question

2．如图，在正△ABC中，DE∥AB，DF∥AC，求证：△MDN是等边三角形．

Answer 1

分析 先证明△CDE是正三角形，得出CD=DE=CE，同理：△BDF是正三角形，得出BD=DF=BF，∠BDF=60°，由SAS证明△BDE≌△FDC，得出对应角相等∠DBM=∠DFN，再由ASA证明△BDM≌△FDN，得出DM=DN，即可得出结论．

解答 证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠CED=∠A=60°，∠CDE=∠ABC=60°，
∴∠CED=∠CDE=∠ACB=60°，
∴△CDE是正三角形，
∴CD=DE=CE，
同理：△BDF是正三角形，
∴BD=DF=BF，∠BDF=60°，
∴∠BDE=∠FDC，∠MDN=180°-60°-60°=60°，
在△BDE和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=FD}&{\;}\\{∠BDE=∠FDC}&{\;}\\{DE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FDC（SAS），
∴∠DBM=∠DFN，
在△BDM和△FDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDM=∠FDN=60°}&{\;}\\{BD=FD}&{\;}\\{∠DBM=∠DFN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△FDN（ASA），
∴DM=DN，
∴△MDN是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．