Question

20．已知A（-4，0），B（0，4），C（0，-4），过O作OM⊥ON交AB、AC于M、N两点
①求证：OM=ON；
②连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，N点的横坐标为-3，求直线MN的函数解析式．
③在②的条件下，求△MON的面积．

Answer 1

分析 ①欲证明OM=ON，只要证明△MBO≌△NAO即可．
②求出直线AB、AC的解析式后，求出点M、N的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
③求出点Q坐标，根据S_△MON=S_△MOQ+S_△NOQ即可解决问题．

解答 ①证明：∵OB=OA=OC=4，
∴∠MBO=∠NAO=∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠MON=∠AOB=90°，
∴∠MOB=∠AON，
在△MBO和△NAO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠OAC}\\{∠MOB=∠AON}\\{OB=OA}\end{array}\right.$
∴△MBO≌△NAO，
∴OM=ON

②解：设直线MN的解析式是y=kx+b
∵直线AB解析式y=x+4，直线AC的解析式为y=-x-4，
又∵M点的纵坐标为3，N点得横坐标为-3
∴点M（-1，3）点N（-3，-1）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{-3k+b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=5}\end{array}\right.$
∴直线MN的解析式是y=2x+5

③设直线MN与x轴交于点Q，则Q（-$\frac{5}{2}$，0），
∴OQ=$\frac{5}{2}$
S_△MON=S_△MOQ+S_△NOQ
=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1
=$\frac{15}{4}+\frac{5}{4}$
=5．

点评 本题考查一次函数综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用一次函数的性质解决问题，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．