Question

13．如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 由AB为圆的切线，得到OC⊥AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB中点，且OC为角平分线，在直角三角形AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出AB的长，求出∠AOB度数，阴影部分面积=三角形AOB面积-扇形AOB面积，求出即可．

解答 解：连接OC，
∵AB与圆O相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，
在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=2，∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即AB=2AC=4$\sqrt{3}$，
则S_阴影=S_△AOB-S_扇形=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2-$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．
故图中阴影部分的面积为4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．