Question

10．如图1，点C在线段AB上，DC⊥AB于点C，且AC=DC，点E在线段DC上，且CE=CB．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）如图2，延长BE到F，使DF∥AB，连接CF，当CD=2CE时，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，延长BE到f，使DF∥AB，连接AF，若CD=nCE（n＞1）时，设△AEF的面积为S₁，△BDE的面积为S₂，试探究S₁与S₂之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，由DC⊥AB可得∠ACE=∠DCB=90°，然后根据SAS就可解决问题；
（2）延长AE交BD于H，如图2，由△ACE≌△DCB可推出∠EHD=90°（即AE⊥DB），要证AE⊥CF，只需证FC∥DB，只需证四边形BCFD是平行四边形即可；
（3）设S_△BCE=S，如图3，由CD=nCE可得$\frac{DE}{CE}$=n-1，根据等高三角形的面积比等于底的比可得S_△BDE=（n-1）S，进而得到S_△DCB=nS，S_△AEB=（n+1）S，由DF∥AB根据平行线分线段成比例可得$\frac{FE}{BE}$=$\frac{DE}{CE}$=n-1，则有$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△AEB}}$=$\frac{EF}{BE}$=n-1，即可得到S_△AEF=（n-1）（n+1）S，即可得到S₁与S₂之间的数量关系．

解答 解：（1）如图1，

∵DC⊥AB，∴∠ACE=∠DCB=90°．
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB；

（2）延长AE交BD于H，如图2．

∵CD=2CE，∴DE=CE．
∵DF∥AB，∴∠DFE=∠CBE．
在△DEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFE=∠CBE}\\{∠DEF=∠CEB}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEB，
∴EF=EB．
又∵DE=CE，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴FC∥DB．
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠AEC=∠DEH，
∴∠CDB+∠DEH=90°，
∴∠EHD=90°，即AH⊥BD．
∵FC∥DB，
∴AH⊥FC，即AE⊥CF；

（3）S₁=（n+1）S₂．
理由：设S_△BCE=S，如图3．

∵CD=nCE，
∴DE=CD-CE=（n-1）CE．
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{DE}{CE}$=n-1，
∴S_△BDE=（n-1）S，
∴S_△DCB=S_△BDE+S_△BCE=（n-1）S+S=nS．
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB=nS，
∴S_△AEB=nS+S=（n+1）S．
∵DF∥AB，
∴$\frac{FE}{BE}$=$\frac{DE}{CE}$=n-1，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△AEB}}$=$\frac{EF}{BE}$=n-1，
∴S_△AEF=（n-1）S_△AEB=（n-1）（n+1）S．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{（n-1）（n+1）S}{（n-1）S}$=n+1，
∴S₁=（n+1）S₂．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比等知识，由△ACE≌△DCB推出∠EHD=90°是解决第（2）小题的关键，由△ACE≌△DCB得到S_△ACE=S_△DCB是解决第（3）小题的关键．