Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

Answer 1

       解：（1）如图1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S_△ABC=BC•AC=AB•CD．

∴CD===4.8．

∴线段CD的长为4.8．

（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．

由题可知DP=t，CQ=t．

则CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP=90°．

∴∠CHP=∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

∴PH=﹣t．

∴S_△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t²+t．

②存在某一时刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100．

∵S_△ABC=×6×8=24，

且S_△CPQ：S_△ABC=9：100，

∴（﹣t²+t）：24=9：100．

整理得：5t²﹣24t+27=0．

即（5t﹣9）（t﹣3）=0．

解得：t=或t=3．

∵0≤t≤4.8，

∴当t=秒或t=3秒时，S_△CPQ：S_△ABC=9：100．

（3）①若CQ=CP，如图1，

则t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如图2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

解得；t=．

③若QC=QP，

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．

同理可得：t=．

综上所述：当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．